Granular Matter - Paper

Mittels der Molekulardynamischen Simulation lässt sich beim Schottergleis jeder einzelne Schotterstein im Modell nachbilden.  Es wird untersucht, inwiefern man Kontaktkraftgesetze, Stoffparameter und Geometriegrößen so festlegen kann, dass das resultierende Rechenmodell die wesentlichen Verhaltensweisen des realen Systems wiedergibt. Des Weiteren werden mögliche Einsatzgebiete der Molekulardynamischen Simulation genannt.

Die Discrete Element Methode  ermöglicht die Simulation des komplexen Verhaltens von granularen Materialien ohne konstitutive Gesetze. Während in zwei Dimensionen Formeffekte gut etabliert sind, gibt es in drei Dimensionen keinen universell anwendbaren Simulationsalgorithmus für nicht-sphärische Partikel. Wir werden zunächst ein Kraftmodell für konvexe polyedrische Partikel vorstellen, das die "Überlappung" von nicht verformten Polyedern als "Maß" für die elastische Kraft verwendet, und den Algorithmus zur Berechnung der Überlappung erläutern.

Diese Arbeit ist ein Beitrag zum Verständnis der mechanischen Eigenschaften von nicht-kohäsiven granularen Materialien in Gegenwart von Reibung und eine Fortsetzung unserer früheren Arbeit (Roul et al. 2010) zur numerischen Untersuchung der makroskopischen mechanischen Eigenschaften von Sandhaufen. Neben früheren numerischen Ergebnissen, die für Sandhaufen erzielt wurden, die aus einer lokalisierten Quelle (''Punktquelle'') geschüttet wurden, betrachten wir hier Sandhaufen, die unter Verwendung einer ''Linienquelle'' oder eines ''Regenverfahrens'' gebaut wurden.

Die gemittelten Spannungs- und Dehnungsantworten von granularen Packungen werden numerisch untersucht. Wir verwenden die Diskrete-Elemente-Methode (DEM), um granulare Packungen zu erzeugen, die aus weichen, konvexen, polygonalen Partikeln bestehen, d.h. die Simulationsgeometrie ist zweidimensional. Die Packungen werden in einem rechteckigen Behälter vorbereitet.

Die Bewegung eines gleitenden Teilchens, beeinflusst durch Reibung, in einer rotierenden Trommel wird untersucht. Es wird eine Differentialgleichung für allgemeine Reibungsgesetze formuliert. Unter der Annahme eines konstanten Reibungskoeffizienten ist die Gleichung exakt lösbar. Für einen geschwindigkeitsabhängigen Reibungskoeffizienten können Störungsmethoden verwendet werden. Das ungestörte System wird gelöst und mit Hilfe der Mittelungsmethode kann das gestörte System auf periodische Bewegungen untersucht werden.

Der Einfluss der Partikelform auf die Schüttgut-Spannungs-Dehnungs-Beziehungen bei triaxialer Kompression granularer Medien wird mit der Molekulardynamik-Methode untersucht. Es zeigt sich, dass entscheidende Eigenschaften experimenteller granularer Medien nicht durch Simulationen mit runden Partikeln reproduziert werden können, sondern nur durch die Verwendung von länglichen Partikeln.

Granulare Materialien, deren prominentester Vertreter Sand ist, sind in sehr vielen Forschungsbereichen von Bedeutung. Ihr besonderen Eigenschaften machen sie sowohl für die industrielle Anwendung bedeutsam, als auch als Arbeitsgebiet in der Grundlagenforschung. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Untersuchung von Granulaten. Die Größenskala typischer granularer Teilchen beginnt im Mikrometer -Bereich für feine Stäube. Die oberen Grenze liegt etwa im Bereich von einigen Kilometern Teilchendurchmesser für die Felsbrocken in den Ringen des Saturn.

Wir untersuchen die effektiven Materialeigenschaften von Sandhaufen aus weichen konvexen polygonalen Partikeln numerisch mit der Diskrete-Elemente-Methode (DEM). Wir konstruieren zunächst zwei Arten von Sandhaufen mit zwei verschiedenen Verfahren. Anschließend messen wir die gemittelte Spannung und Dehnung, letztere durch Auferlegung einer 10%igen Schwerkraftreduktion, sowie den Gewebespannungstensor.

In diesem Beitrag werden drei Algorithmen zur Beschleunigung von Diskrete-Elemente-Simulationen für granulare Medien.  Der erste Algorithmus erlaubt die Bestimmung von Nachbarschaftsbeziehungen in polydispersen Mischungen von Partikeln beliebiger Form, entweder Scheiben, Ellipsen oder Polygone. Der zweite Algorithmus erlaubt es, den Abstand zweier Polygone in konstanter Zeit zu berechnen, unabhängig von der Komplexität der Form der Polygone. Dies ermöglicht schnelle Simulationen von polygonalen Anordnungen.

Sowohl in Experimenten als auch in Simulationen hat sich gezeigt, dass die Druckverteilung unter Halden von der Entstehungsgeschichte der Halde abhängig ist. Bisherige theoretische Modelle und Analysen gehen davon aus dass die Packung der Halde homogen ist. Wir zeigen neue experimentelle und simulative Ergebnisse, die darauf hinweisen, dass die Packung inhomogen ist und dass diese Packungseigenschaft wahrscheinlich das Druckminimum unter der Halde verursacht. 

Wir untersuchen den Einfluss der Geometrie von Granulathaufen auf die Druckverteilung. Für gegebene Druckverteilungen unter Kegeln berechnen wir die Druckverteilung unter Keilen mittels linearer Überlagerung. Für Kegel mit einem Druckminimum verschwindet das Druckminimum für den entsprechenden Keil. Vergleiche mit experimentellen Daten ergeben eine gute qualitative Übereinstimmung, aber der Gesamtdruck wird überschätzt.

Wir untersuchen numerisch die effektiven Materialeigenschaften von Aggregaten, die aus weichen, konvexen, polygonalen Partikeln bestehen, unter Verwendung der Diskrete-Elemente-Methode. Zunächst konstruieren wir zwei Arten von "Sandhaufen" mit zwei verschiedenen Verfahren. Dann messen wir die gemittelten Spannungen und Dehnungen, letztere durch Auferlegung einer 10%igen Verringerung der Schwerkraft, sowie den Gewebespannungstensor.

Wir verwenden eine Diskrete Elemente-Methode, um die Dynamik von Granulaten zu simulieren, die aus beliebig geformten Partikeln bestehen. Statische und dynamische Reibung werden in unseren Kraftgesetzen berücksichtigt, was es uns ermöglicht, die Relaxation von (zweidimensionalen) Sandhaufen in ihren statischen Endzustand zu simulieren. Abhängig von der Wachstumsgeschichte kann ein Druckabfall unter einem Haufen auftreten oder nicht.

Wir befassen uns mit der Reibung unter dem Gesichtspunkt der Untersuchung granularer Materialien, bei der Haufen ihre Form nur bei Vorhandensein von Coulomb-Reibung beibehalten können.

Die experimentelle Motivation für diese Studie sind neuere Veröffentlichungen über kohäsive granulare Materialien. Unsere zentrale Frage ist, in welchem Regime und durch welchen Mechanismus sich die Bewegung von Körnern von der Bewegung unabhängiger Partikel zu einer Bewegung kleiner Cluster mit zunehmender Kohäsion ändert. Kohäsion führt eine zusätzliche Längenskala ein, so dass die Effekte größenabhängig werden. Die Kohäsionskraft, die auf ein Volumenelement der Größe I x I x I wirkt, ist proportional zu seiner Oberfläche oder I².

Sand ist eines der am wenigsten beachteten, aber fast allgegenwärtigen Dinge unserer Umwelt. Auch in der Physik ist "einfacher" Sand, oder genauer sind "granulare Medien" ein noch wenig untersuchtes Gebiet. Dass dies so ist, liegt an der Komplexität, die in der scheinbaren "Einfachheit" verborgen ist. Eine analytische Lösung verbietet sich von selbst, denn die Art der Wechselwirkung, Reibungsprozesse und Teilchenzahl bilden ein unüberwindliches Hindernis. Aber auch die statistische Physik bietet noch keine Erklärungsmodelle für einen Sandhaufen.

Wir präsentieren zweidimensionale Molekulardynamik-Simulationen von kohäsiven regelmäßigen Polygonen. Wir untersuchen die Abhängigkeit des Schüttwinkels von der Kohäsion, die in guter Übereinstimmung mit Experimenten ist. Mit dieser als Validierung untersuchen wir mikroskopische Parameter, die dem Experiment nicht zugänglich sind. Dazu gehören die Kontaktlänge, die Zackigkeit der Oberfläche und die Korrelationszeit. Mit zunehmender Kohäsion bewegen sich die Teilchen für lange Zeit in Clustern.

Um das eigentümliche Verhalten körniger Materie zu verstehen, ist es oft aufschlussreich, die Physik von nur wenigen Körnern zu beobachten. Wir stellen zwei Versuchsaufbauten vor, die in diese Klasse fallen: Die Bewegung eines einzelnen Teilchens in einer rotierenden Trommel und das kollektive Verhalten einiger weniger Teilchen unter dem Einfluss einer Wirbelbewegung.

Das Problem der granularen Medien ist nicht nur ein Problem der Materialeigenschaften, sondern auch ein Problem der Strukturen. Um diese interessanten Systeme zu untersuchen, verwendet man Molekulardynamiksimulationen. Das Ziel der hier vorgestellten Arbeit war es, ein Programm zu haben, das auf preiswerten High-End Shared-Memory-Workstations laufen kann. Dazu haben wir eine schnelle Thread-basierte Simulation von polygonalen Partikeln entwickelt.

Wir untersuchen den gemittelten makroskopischen Spannungstensor für einen Sandhaufen, der aus weichen, konvexen, polygonalen Partikeln besteht, numerisch unter Verwendung der Methode der diskreten Elemente (DEM). Zunächst konstruieren wir zwei Arten von "Sandhaufen" mit zwei verschiedenen Schüttverfahren. Anschließend verformen wir die Sandhaufen, indem wir sie unter einer 10%igen Verringerung der Schwerkraft entspannen. Vier verschiedene Methoden, drei Best-Fit-Dehnungen und eine abgeleitete Dehnung, werden zur Bestimmung der Dehnungsverteilung unter einem Sandpfahl verwendet.

Wir untersuchen numerisch das mikro- und makromechanische Verhalten von nicht kohäsiven granularen Materialien, insbesondere im statischen Grenzbereich. Um dieses Ziel zu erreichen, haben wir numerische Simulationen durchgeführt, die zweidimensionale "Sandhaufen" aus mehreren Tausend konvexen polygonalen Partikeln mit unterschiedlichen Formen, Größen und Eckenzahlen erzeugen, wobei wir einen auf weichen Partikeln basierenden Ansatz mit diskreten Elementen verwenden.

Wir zeigen, wie Differential-Algebraische Systeme (Gewöhnliche Differentialgleichungen mit algebraischen Nebenbedingungen) in der Mechanik von Stabilitätsproblemen betroffen sind, und wir implementieren die Projektionsmethode von Lubich, um den Fehler auf praktisch Null zu reduzieren. Dann erklären wir, wie die "numerisch exakte" Implementierung für Haftreibung durch Differential-Algebraische Systeme stabilisiert werden kann. Wir schließen mit einem Vergleich der entsprechenden Schritte in der von Moreau eingeführten "Kontaktmechanik".

Granulare Medien verbergen hinter ihrer scheinbaren Einfachheit ("... ist bloß Sand") ein sehr komplexes Verhalten. Typische Eigenschaften von Granulaten sind zum Beispiel der diskrete Aufbau und die Inhomogenität. Dies führt dazu, daß Aufschüttungen weit entfernt vom thermischen Gleichgewicht doch sehr "stabil" sein können. Es stellt sich nun die Frage, welche Folgen dies für das Verhalten von Sandansammlungen hat.

Die Druckverteilung unter Haufen hat sich sowohl in Experimenten als auch in Simulationen als abhängig von der Schüttung des Haufens erwiesen. Bisherige theoretische Modelle und Analysen gehen davon aus, dass die Packung der Anhäufung homogen ist. Wir zeigen neue experimentelle und simulative Ergebnisse, die darauf hinweisen, dass die Packung inhomogen ist und dass diese Packungseigenschaft wahrscheinlich das Druckminimum unter der Halde verursacht.